Открытие, о котором речь, состоит в следующем: сторона квадрата и его диагональ несоизмеримы, то есть нет отрезка, который уложился бы целое число раз и в той, и в другой.
Доказательство сохранилось и приводится Аристотелем как образец рассуждения от противного. Если отношение выражается дробью, приведённой к несократимому виду, то из равенства выходит, что числитель одновременно чётен и нечётен. Такого быть не может, значит, дроби нет.
Позже это доказательство приложили к десятой книге «Начал» Евклида.
Датировка ненадёжна. К временам Пифагора открытие обычно не относят. В платоновском «Теэтете» Феодор Киренский показывает несоизмеримость для сторон квадратов площадью в три, пять и далее до семнадцати, и это выглядит как работа, ещё не доведённая до общего вида.
Имя Гиппаса Метапонтского связано с историей через Ямвлиха, писавшего восемьсот лет спустя.
У него самого версии расходятся. По одной, Гиппас погиб в море за то, что разгласил построение вписанного в шар додекаэдра. По другой — за разглашение учения о несоизмеримом. Кроме того, у Ямвлиха Гиппас фигурирует как отступник, основавший собственную ветвь школы, и утопление там выглядит карой за раскол, а не за теорему.
Никакой другой источник о казни не сообщает.
Пифагорейская школа в Кротоне погибла иначе и по причинам мирским: около середины V века до н.э. дома, где собирались пифагорейцы, сожгли во время восстания против их влияния на управление городами.
Само слово, которым греки называли несоизмеримое, — алогон, то есть не поддающееся выражению отношением. Латинский перевод сделал из него «иррациональное», и оттуда пошёл побочный смысл, которого в греческом не было.