Сенека в девяносто восьмом письме к Луцилию сообщает: Секстию божественный Юлий предлагал широкую полосу, а он отказался.
Широкая пурпурная полоса на тунике была знаком сенаторского сословия. Предложение Цезаря означало ввод в сенат.
Сенека добавляет, что отец уговаривал его принять, и что Секстий всё же отказался.
Причину он объясняет коротко. Секстий понимал, что дело это надо будет либо бросить, либо тянуть, — а бросить он не сможет.
Школа, которую он основал, была римской по языку и греческой по устройству. Сенека называет её новой и стоической по духу. Сам Секстий стоиком себя не называл.
О её содержании известно немногое. Вечерний разбор прожитого дня, который Сенека описывает в трактате «О гневе», взят у Секстия. Воздержание от мясной пищи — тоже его правило. Сенека соблюдал его в молодости, пока отец не заставил бросить. При Тиберии воздержание от мяса связывали с чужеземными обрядами, и это было небезопасно.
Ещё одно его сравнение Сенека приводит дважды. Войско, говорил Секстий, идёт четырёхугольным строем, готовое к бою со всех сторон. Так же должен ходить и мудрец.
Просуществовала школа недолго. В «Естественных вопросах» Сенека пишет, что она началась с большой силой и угасла в первом же поколении.